题目内容

已知函数

1)若,求曲线处的切线方程;

2)若对任意的,都有恒成立,求的最小值;

3)设,若为曲线的两个不同点,满足,且,使得曲线处的切线与直线AB平行,求证:

 

【答案】

1;(21;(3)证明过程详见解析

【解析】

试题分析:

第一问,当时,先求出的解析式,对求导,将代入到中得到切线的斜率,将代入到中得到切点的纵坐标,最后用点斜式写出切线方程;第二问,本问是恒成立问题,先转化成恒成立,即构造函数求函数的最小值大于等于0即可,对求导对参数a进行讨论,分,求导,利用导数求函数的最值,判断是否符合题意;第三问,先利用已知条件求出解析式,求出直线AB的斜率,通过对求导,求出曲线在处的切线的斜率,由于两直线平行,所以两斜率相等,由于,所以在定义域内单调递减,用分析法得欲证,需证明,通过变形得,即,构造新函数,通过求导判断函数的单调性和最值,只需证明最小值大于0即可

试题解析:(1,斜率,

所以,曲线处的切线方程为 2

(2) 恒成立恒成立

(ⅰ)若,则恒成立,∴函数为单调递增函数,

恒成立,又∵,∴符合条件

(ⅱ)若,由,可得,解得(舍去)

时,;当时,

恒成立矛盾

综上,a的最小值为1 7

(Ⅲ)

又∵,∴,∴

,易知其在定义域内为单调递减函数

欲证证明

,变形可得:

,原不等式等价于,等价于

构造函数

,令

时,

上为单调递增函数,

上为单调递增函数,

上恒成立

成立,∴得证

考点:1 利用导数研究函数的单调性;2 利用导数求函数的极值和最值

 

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