题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
,
,
,
,
,点
为
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)若平面
平面
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】分析:(1)取中点
,连结
.先证明
,再证明
平面
.(2)利用向量的方法求直线
与平面
所成角的正弦值.
详解:(1)取中点
,连结
.
因为点为
的中点,所以
且
,
又因为且
,所以
且
,
所以四边形为平行四边形,所以
,
又平面
,
平面
,所以
平面
.
(2)在平面中,过
作
,在平面
中,过
作
.
因为平面
平面
,平面
平面
,所以
平面
,
所以,所以
两两互相垂直.
以为原点,向量
的方向分别为
轴、
轴、
轴的正方向建立空间直角坐标系
(如图),则
,
,
,
,
, 7分
所以,
,
,
设是平面
的一个法向量,
则即
取,得
.
设直线与平面
所成角为
.
则,
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为了解人们对“2019年3月在北京召开的第十三届全国人民代表大会第二次会议和政协第十三届全国委员会第二次会议”的关注度,某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人,并得到如图所示的年龄频率分布直方图,在这100人中关注度非常髙的人数与年龄的统计结果如右表所示:
年龄 | 关注度非常高的人数 |
15 | |
5 | |
15 | |
23 | |
17 |
(Ⅰ)由频率分布直方图,估计这100人年龄的中位数和平均数;
(Ⅱ)根据以上统计数据填写下面的列联表,据此表,能否在犯错误的概率不超过
的前提下,认为以45岁为分界点的不同人群对“两会”的关注度存在差异?
(Ⅲ)按照分层抽样的方法从年龄在35岁以下的人中任选六人,再从六人中随机选两人,求两人中恰有一人年龄在25岁以下的概率是多少.
45岁以下 | 45岁以上 | 总计 | |
非常髙 | |||
一般 | |||
总计 |
参考数据:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
【题目】2018年2月9-25日,第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后,第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会,某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天,从全校学生中随机抽取了120名学生,对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查,统计数据如下:
收看 | 没收看 | |
男生 | 60 | 20 |
女生 | 20 | 20 |
(Ⅰ)根据上表说明,能否有的把握认为,收看开幕式与性别有关?
(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中,采用按性别分层抽样的方法选取8人,参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.
(ⅰ)问男、女学生各选取多少人?
(ⅱ)若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍,求恰好选到一名男生一名女生的概率P.
附:,其中
.