题目内容

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a∈N*),若不等式f(x)<2x的解集为(1,4),且方程f(x)=x有两个相等的实数根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若不等式f(x)>mx在x∈(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围.
分析:(1)利用“3个二次”的关系即可得出;
(2)不等式恒成立问题,通过分离参数转化为可以利用基本不等式求函数的最值.
解答:解:(1)∵不等式f(x)<2x的解集为(1,4),
∴f(1)-2=0,f(4)-8=0,且a>0.
又方程f(x)=x有两个相等的实数根,即ax2+(b-1)x+c=0的△=(b-1)2-4ac=0.
联立
a+b+c-2=0
16a+4b+c-8=0
(b-1)2-4ac=0
a>0
,解得
a=1
b=-3
c=4

∴f(x)=x2-3x+4.
(2)不等式f(x)>mx在x∈(1,+∞)上恒成立?m<
f(x)
x
=x+
4
x
-3
在x∈(1,+∞)上恒成立;
令g(x)=x+
4
x
-3(x>1)
,则g(x)≥2
x•
4
x
-3=4-3=1
,当且仅当x=2时取等号.
∴m<1.
点评:解本题的关键是根据一元二次不等式的解集得到对应方程的根,对于不等式恒成立问题,通过分离参数转化为可以利用基本不等式求函数的最值得到.
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