Question

已知数列{a_n}，a₁=1，S_n为其前n项和，且满足2a_n+1=S_n+2．
（1）求a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

3

an

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n＞

k

3

对任意n∈N^※恒成立的最大正整数k值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得2a₂=S₁+2=a₁+2=3，2a3=S2+2=a1+a2+2=

9

2

，2a_n+1=S_n+2，2a_n=S_n-1+2（n≥2），从而得到an+1=

3

2

an（n≥2），由此能求出a₂，a₃的值和数列{a_n}的通项公式．
（2）由已知得数列{

3

an

}是首项为3，公比为

2

3

等比数列，从而Tn=

3[1-( 2 3 )n]

1- 2 3

=9[1-(

2

3

)n]，由此能求出使不等式T_n＞

k

3

对任意n∈N^※恒成立的最大正整数k值．

解答： 解：（1）∵2a₂=S₁+2=a₁+2=3，
∴a2=

3

2

．    …（1分）
∵2a3=S2+2=a1+a2+2=

9

2

，
∴a3=

9

4

．…（2分）
∵2a_n+1=S_n+2，∴2a_n=S_n-1+2（n≥2），
两式相减，得2a_n+1-2a_n=S_n-S_n-1．
∴2a_n+1-2a_n=a_n．则an+1=

3

2

an（n≥2）．…（5分）
∵a2=

3

2

a1，∴an+1=

3

2

an（n∈N^*）．…（6分）
∵a₁=1≠0，∴{a_n}为等比数列，
∴an=(

3

2

)n-1． …（7分）
（2）∵

3

an

=3×(

2

3

)n-1，∴

bn+1

bn

=

2

3

，
∴数列{

3

an

}是首项为3，公比为

2

3

等比数列．…（9分）
于是Tn=

3[1-( 2 3 )n]

1- 2 3

=9[1-(

2

3

)n]，…（12分）
∴T_n+1-T_n=9[（

2

3

）ⁿ-（

2

3

）ⁿ⁺¹]＞0，
∴T_n关于n是递增数列，…（13分）
∴（T_n）_min=T₁=3，∴k＜9，
又k∈N^*，∴k_min=8．…（15分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查使不等式T_n＞

k

3

对任意n∈N^※恒成立的最大正整数k值的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．