Question

设函数f（x）=a^x+（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k的值；
（2）若f（1）=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2m，g（x）在[1，+∞）上最小值为-2，求m的值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意知f（0）=1+（k-1）=0，代入验证即可；
（2）由题意，f（1）=a-a^-1=

3

2

，从而求出a，进而求g（x）在[1，+∞）上的最小值，从而求m．

解答： 解：（1）∵f（x）=a^x+（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=1+（k-1）=0，
解得，k=0，
经检验，当k=0时，f（x）是奇函数，
故k=0；
（2）由题意，f（1）=a-a^-1=

3

2

，
故a=2，
则g（x）=2^2x+2^-2x-2m=（2^x+2^-x）²-2m-2，
∵x≥1，
∴2^x+2^-x≥2

1

2

，
故g_min（x）=4+

1

4

-2m=-2，
解得，m=

25

8

．

点评：本题考查了函数的性质的应用，属于基础题．