题目内容
【题目】如图,三棱锥中,
平面
,
,
,
是
的中点,
是
的中点,点
在
上,
.
(1)证明: 平面
;
(2)若,求二面角
的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明过程见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:(Ⅰ)取的中点
,利用中位线的性质,可证明平面GEF//平面ABC,进而得到EF//平面ABC;(Ⅱ)由题意,建立空间直角坐标系
,分别求出平面
和平面
的法向量,求出法向量之间的夹角即可求出二面角
的余弦值.
试题解析:(Ⅰ)证明:如图,取AD中点G,连接GE,GF,
则GE//AC,GF//AB,
因为GE∩GF=G,AC∩AB=A,所以平面GEF//平面ABC,
所以EF//平面ABC.
(Ⅱ)作BO⊥AC于点O,过点O作OH//PA,
以O为坐标原点,OB,OC,OH所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图6所示的空间直角坐标系,
则
∴,
则平面CDA的一个法向量为
设平面CDB的一个法向量为
则
可取,所以
,
所以二面角BCDA的余弦值为.
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