Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，且经过点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）动直线与椭圆C相交于点M，N，椭圆C的左右顶点为,直线与相交于点，证明点在定直线上，并求出定直线的方程.

Answer 1

【答案】(1) (2)证明见解析，定直线方程为。

【解析】

（1）利用离心率公式，可知a，c的关系，利用，可知a,b的关系，椭圆经过点，代入椭圆方程，又得到一个方程，二个方程联立，即可求出椭圆方程。

（2）由椭圆的性质可以判断点G在直线上，先考虑特殊情况，求出点G在上，再考虑一般情况，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，最后可以验证点G在上。

(1)离心率为，即，而所以 ①，椭圆经过点.

所以②，由①②联立方程组，解得，

所以椭圆的方程为

(2)由椭圆的对称性可知点G一定在上，假设直线过椭圆的上顶点，则M，

，显然直线 过定点（4，0）所以，椭圆方程与直线方程联立，求出点N的坐标为

两方程联立，解得交点，所以G在定直线上。

当M不是椭圆顶点时，设

椭圆方程与直线联立消去y，整理得

所以有

当时，把 代入整理得：

所以有显然成立，

所以G在定直线上。