Question

（08年东北师大附中三摸理） （12分）如图，在直角梯形P₁DCB中，P₁D∥CB，CD⊥P₁D，P₁D＝6，BC＝3，DC＝，A是P₁D的中点，E是线段AB的中点，沿AB把平面P₁AB折起到平面PAB的位置，使二面角P－CD－B成45°角．

   （Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；

   （Ⅱ）求平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大小．

                           

Answer 1

解析：证明(Ⅰ)                 　　

　　　　AB∥DC，DC平面PAD．

　　DCPD  DCAD，　　PDA为二面角P－CD－B的平面角．………3分　　

　　故PDA＝45°  PA＝AD＝3，  APD＝45°． PAAD．

　　又PAAB ，PA平面ABCD．　　　　……………………………………6分

                                                                                                                                                           

   （Ⅱ）证法一：延长DA，CE交于点N，连结PN,　

由折叠知又．

，

又由（１）知，

为二面角的平面角．………9分

在直角三角形中，

，．

即平面PEC和平面PAD所成锐二面角为30°． ……………………………………12分

证法二：如图建立空间直角坐标系 ，则

，设为平面的法向量，则

，可设，

又平面的法向量，

．

．