Question

等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，前n项和为S_n，{b_n}为等比数列，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．
（1）求a_n与b_n；
（2）若不等式

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

m-2009

4

对n∈N^*成立，求最小正整数m的值．

Answer 1

分析：（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，结合b₂S₂=64，b₃S₃=960，求出公差与公比，即可求a_n与b_n；
（2）利用裂项法求和，从而可得不等式，即可求最小正整数m的值．

解答：解：（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则d为正整数，a_n=3+（n-1）d，bn=qn-1
依题意，b₂S₂=64，b₃S₃=960，∴

S3b3=(9+3d)q2=960 S2b2=(6+d)q=64

解得

d=2 q=8

，或

d=- 6 5 q= 40 3

（舍去）     
故an=3+2(n-1)=2n+1，bn=8n-1
（2）S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

＜

3

4

≤

m-2009

4

∴m≥2012，所以所求m的最小正整数是2012．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查数列与不等式的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．