Question

函数f（x）的定义域为D={x|x≠0，x∈R}，且满足对于任意的x₁，x₂∈D，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；
（3）当f（4）=1，f（x）在（0，+∞）上是增函数时，若f（x-1）＜2，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）在题中所给函数关系式中取x₂=1，化简即可计算出f（1）的值等于0；
（2）令x₁=x₂=-1，代入题中等式算出f（-1）=0．再令x₁=-1且x₂=x代入，即可算出f（-x）=f（x），根据函数奇偶性定义可得f（x）在D上为偶函数；
（3）令x₁=x₂=4，算出f（16）=2．由函数为偶函数，将不等式f（x-1）＜2转化成f（|x-1|）＜2，结合函数的单调性将问题转化为解不等式0＜|x-1|＜16，根据绝对值不等式的解法法则即可得到满足条件x的取值范围．

解答：解：（1）取x₂=1，得f（x₁×1）=f（x₁）+f（1），即f（x₁）=f（x₁）+f（1），解之得f（1）=0；
（2）令x₁=x₂=-1，得f[-1×（-1）]=f（-1）+f（-1）．解之得f（-1）=0
再令x₁=-1，x₂=x，得f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）在D上为偶函数…（8分）
（3）由f（4×4）=f（4）+f（4）且f（4）=1，得f（16）=2…（9分）
∵f（x）在D上为偶函数，
∴不等式f（x-1）＜2等价于f（|x-1|）＜2…（10分）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，由函数的定义域知|x-1|＞0
∴0＜|x-1|＜16，解之得-15＜x＜17且x≠1，
即原不等式的解集为（-15，1]∪[1，17）…（12分）

点评：本题给出抽象函数，求特殊的函数值、讨论函数的奇偶性，并依此解关于x的不等式．着重考查了函数的单调性、奇偶性和绝对值不等式的解法等知识，属于中档题．运用“赋值法”进行求值和化简，是解决抽象函数问题的一般方法．