题目内容
【题目】已知函数f(x)=(2x-4)ex+a(x+2)2(x>0,a∈R,e是自然对数的底数).
(1)若f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数,求实数a的取值范围;
(2)当a∈ 时,证明:函数f(x)有最小值,并求函数f(x)的最小值的取值范围.
【答案】
(1)解:f′(x)=2ex+(2x-4)ex+2a(x+2)=(2x-2)ex+2a(x+2),依题意,当x>0时,函数f′(x)≥0恒成立,即a≥- 恒成立,记g(x)=-
,则g′(x)=-
=-
<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以g(x)<g(0)=
,所以a≥
.
故a的取值范围为
.
(2)解:因为[f′(x)]′=2xex+2a>0,所以y=f′(x)是(0,+∞)上的增函数,又f′(0)=4a-2<0,f′(1)=6a>0,所以存在t∈(0,1)使得f′(t)=0,
又当x∈(0,t)时,f′(x)<0,当x∈(t,+∞)时,f′(x)>0,
所以当x=t时,f(x)min=f(t)=(2t-4)et+a(t+2)2.且有f′(t)=0a=- ,
则f(x)min=f(t)=(2t-4)et-(t-1)(t+2)et=et(-t2+t-2),t∈(0,1).
记h(t)=et(-t2+t-2),则h′(t)=et(-t2+t-2)+et(-2t+1)=et(-t2-t-1)<0,
所以h(1)<h(t)<h(0),
即f(x)的最小值的取值范围是(-2e,-2).
【解析】(1)首先求出原函数的导函数,再根据导函数的正负情况即可得出原函数的增减性,利用增减性的定义即可求出a的值。(2)根据函数的单调性求出f(x) 的最小值,从而求出最小值的取值范围。
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【题目】从某校随机抽取部分男生进行身体素质测试,获得掷实心球的成绩数据,整理得到数据分组及频率分布表,成绩在11.0米(精确到0.1米)以上(含)的男生为“优秀生”.
分组(米) | 频数 | 频率 |
[3.0,5.0) | 0.10 | |
[5.0,7.0) | 0.10 | |
[7.0,9.0) | 0.10 | |
[9.0,11.0) | 0.20 | |
[11.0,13.0) | 0.40 | |
[13.0,15.0) | 10 | |
合计 | 1.00 |
(Ⅰ)求参加测试的男生中“优秀生”的人数;
(Ⅱ)从参加测试男生的成绩中,根据表中分组情况,按分层抽样的方法抽取10名男生的成绩作为一个样本,再从该样本中任选2名男生的成绩,求至少选出1名男生的成绩不低于13.0米的概率;
(Ⅲ)若将这次测试的频率作为概率,从该校全体男生中随机抽取3人,记X表示3人中“优秀生”的人数,求X的分布列及数学期望.