Question

已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx²+cx+d，g（x）=ax³+bx²+cx+d．方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根．
（1）求d的值；
（2）若a=0，求c的取值范围；
（3）若a=1，f（1）=0，求c的取值范围．

Answer 1

分析：解：（1）不妨设r为方程的一个根，即f（r）=0，则由题设得g（f（r））=0．进而有g（0）=g（f（r））=0，再由g（0）=d求解．
（2）由（1）知f（x）=bx²+cx，g（x）=ax³+bx²+cx．所以有g（f（x））=x（bx+c）[bx（bx+c）+c]=x（bx+c）（b²x²+bcx+c）．而方程f（x）=0即为x（bx+c）=0．①方程g（f（x））=0即为x（bx+c）（b²x²+bcx+c）=0．②最后按方程的类型，分（ⅰ）当c=0时，b≠0，（ⅱ）当c≠0，b=0（ⅲ）当c≠0，b≠0讨论．
（3）由a=1，f（1）=0得b=-c，将函数的系数都用c表示：f（x）=bx²+cx=cx（-x+1），g（f（x））=f（x）[f²（x）-cf（x）+c]．由f（x）=0可以推得g（f（x））=0，知方程f（x）=0的根一定是方程g（f（x））=0的根．然后，按照c=0和c≠两种情况，用判别式判断求解．

解答：解：（1）设r为方程的一个根，即f（r）=0，则由题设得g（f（r））=0．
于是，g（0）=g（f（r））=0，即g（0）=d=0．
所以，d=0．
（2）由题意及（1）知f（x）=bx²+cx，g（x）=ax³+bx²+cx．
由a=0得b，c是不全为零的实数，且g（x）=bx²+cx=x（bx+c），
则g（f（x））=x（bx+c）[bx（bx+c）+c]=x（bx+c）（b²x²+bcx+c）．
方程f（x）=0就是x（bx+c）=0．①
方程g（f（x））=0就是x（bx+c）（b²x²+bcx+c）=0．②
（ⅰ）当c=0时，b≠0，方程①、②的根都为x=0，符合题意．
（ⅱ）当c≠0，b=0时，方程①、②的根都为x=0，符合题意．
（ⅲ）当c≠0，b≠0时，方程①的根为x₁=0，x2=-

c

b

，它们也都是方程②的根，但它们不是方程b²x²+bcx+c=0的实数根．
由题意，方程b²x²+bcx+c=0无实数根，此方程根的判别式△=（bc）²-4b²c＜0，得0＜c＜4．
综上所述，所求c的取值范围为[0，4）．
（3）由a=1，f（1）=0得b=-c，f（x）=bx²+cx=cx（-x+1），g（f（x））=f（x）[f²（x）-cf（x）+c]．③
由f（x）=0可以推得g（f（x））=0，知方程f（x）=0的根一定是方程g（f（x））=0的根．
当c=0时，符合题意．
当c≠0时，b≠0，方程f（x）=0的根不是方程f²（x）-cf（x）+c=0④的根，
因此，根据题意，方程④应无实数根．
那么当（-c）²-4c＜0，即0＜c＜4时，f²（x）-cf（x）+c＞0，符合题意．
当（-c）²-4c≥0，即c＜0或c≥4时，由方程④得f(x)=-cx2+cx=

c± c2-4c

2

，
即cx2-cx+

c± c2-4c

2

=0，⑤
则方程⑤应无实数根，
所以有(-c)2-4c

c+ c2-4c

2

＜0且(-c)2-4c

c- c2-4c

2

＜0．
当c＜0时，只需-c2-2c

c2-4c

＜0，解得0＜c＜

16

3

，矛盾，舍去．
当c≥4时，只需-c2+2c

c2-4c

＜0，解得0＜c＜

16

3

．
因此，4≤c＜

16

3

．
综上所述，所求c的取值范围为[0，

16

3

)．

点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，主要涉及了方程的根，函数的最值，还考查了分类讨论思想，转化思想．