题目内容

【题目】已知椭圆,离心率为,两焦点分别为,过的直线交椭圆两点,且的周长为8.

(1)求椭圆的方程;

(2)过点作圆的切线交椭圆两点,求弦长的最大值.

【答案】(12

【解析】试题分析:(1)求椭圆标准方程,一般利用待定系数法,即根据条件列两个独立方程:一是离心率,二是椭圆定义: 的周长为,解方程组得2)涉及弦长问题,一般利用直线方程与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理和弦长公式求弦长:设切线的方程为,则,再根据直线与圆相切得,即,代入化简得,最后利用基本不等式求最值

试题解析:(1)由题得: ,........................1

,...............................3

所以.........................4

,所以,........................5

即椭圆的方程为....................6

2)由题意知, ,设切线的方程为

,得...............7

.....................8

由过点的直线与圆相切得,即

所以....11

当且仅当时, ,所以的最大值为2...................12

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