Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．
（1）求抛物线方程；
（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．

Answer 1

分析：（1）由题意可得4+

p

2

=5，可求p，进而可求抛物线方程
（2）由题意可求点A，B，M，F，进而可求直线FA的斜率k_FA，结合MN⊥FA，可求k_MN，然后写出FA的方程，MN的方程，联立两直线方程可求N

解答：解：（1）抛物线y²=2px的准线x=-

p

2

，
于是，4+

p

2

=5，
∴p=2．
∴抛物线方程为y²=4x．
（2）∵点A的坐标是（4，4），由题意得B（0，4），M（0，2）．
又∵F（1，0），
∴k_FA=

4

3

．
又MN⊥FA，
∴k_MN=-

3

4

，
则FA的方程为y=

4

3

（x-1），
MN的方程为y-2=-

3

4

x，
解方程组

y-2=- 3 4 x y= 4 3 (x-1)

得 

x= 8 5 y= 4 5

∴N(

8

5

，

4

5

)．

点评：本题主要考查了抛物线的性质在求解抛物线的方程中的应用，直线的位置关系的应用及两条直线相交关系的应用．