题目内容
（2013•湖南模拟）大学生自主创业已成为当代潮流．长江学院大三学生夏某今年一月初向银行贷款两万元作开店资金，全部用作批发某种商品，银行贷款的年利率为6%，约定一年 后一次还清贷款，已知夏某每月月底获得的利润是该月月初投人资金的15%，每月月底需要 交纳个人所得税为该月所获利润的20%，当月房租等其他开支1500元，余款作为资金全 部投入批发该商品再经营，如此继续，假定每月月底该商品能全部卖出．
（1）设夏某第n个月月底余an元，第n+l个月月底余an+1元，写出a1的值并建立an+1与an的递推关系；
（2）预计年底夏某还清银行贷款后的纯收入．
（参考数据：1.1211≈3.48，1.1212≈3.90，0.1211≈7.43×10-11，0.1212≈8.92×10-12）
（1）设夏某第n个月月底余an元，第n+l个月月底余an+1元，写出a1的值并建立an+1与an的递推关系；
（2）预计年底夏某还清银行贷款后的纯收入．
（参考数据：1.1211≈3.48，1.1212≈3.90，0.1211≈7.43×10-11，0.1212≈8.92×10-12）
分析：（1）根据夏某每月月底获得的利润是该月月初投人资金的15%，每月月底需要交纳个人所得税为该月所获利润的20%，当月房租等其他开支1500元，可求a1的值并建立an+1与an的递推关系；
（2）构造{an-12500}是以20900为首项，1.12为公比的等比数列，即可求得结论．
（2）构造{an-12500}是以20900为首项，1.12为公比的等比数列，即可求得结论．
解答：解：（1）由题意a1=20000（1+15%）-20000×15%×20%-1500=20900（元）…（2分）
an+1=an（1+15%）-an×15%×20%-1500=1.12an-1500（n∈N+，1≤n≤11）…（6分）
（2）令an+1+λ=1.12（an+λ），则an+1=1.12an+0.12λ，
∵an+1=1.12an-1500，∴对比得λ=-12500…（8分）
∴an+1-12500=1.12（an-12500），
∴{an-12500}是以20900为首项，1.12为公比的等比数列
∴an-12500=（20900-12500）×1.12n-1，即an=8400×1.12n-1+12500
∴a12=8400×1.1211+12500≈41732（元） …（11分）
又年底偿还银行本利总计20000（1+6%）=21200（元）…（12分）
故该生还清银行贷款后纯收入41732-21200=20532（元） …（13分）
an+1=an（1+15%）-an×15%×20%-1500=1.12an-1500（n∈N+，1≤n≤11）…（6分）
（2）令an+1+λ=1.12（an+λ），则an+1=1.12an+0.12λ，
∵an+1=1.12an-1500，∴对比得λ=-12500…（8分）
∴an+1-12500=1.12（an-12500），
∴{an-12500}是以20900为首项，1.12为公比的等比数列
∴an-12500=（20900-12500）×1.12n-1，即an=8400×1.12n-1+12500
∴a12=8400×1.1211+12500≈41732（元） …（11分）
又年底偿还银行本利总计20000（1+6%）=21200（元）…（12分）
故该生还清银行贷款后纯收入41732-21200=20532（元） …（13分）
点评：本题考查数列的应用，解题时要注意认真审题，本题解题的关键是构造{an-12500}是以20900为首项，1.12为公比的等比数列．
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