Question

（本题满分12分）已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f(+f(x₂)=f(x₁)，且当x＞1时，f(x)＜0.
（1）求f(1)的值；
（2）判断f(x）的单调性并加以证明；
（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)>-2.

Answer 1

（1）f(1)=0.（2）函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.
（3）{x| -9<x＜0或0<x＜9}.

本试题主要是考查了函数的单调性和不等式的解集，
（1）令x₂=x₁＞0,代入得f(1)+f(x₁)=f(x₁),故f(1)=0.
（2）任取x₁,x₂∈(0,+∞)，且x₁＞x₂,则＞1,由于当x＞1时，f(x)＜0,
所以f＜0,即f (x₁)-f(x₂)＜0,因此f(x₁)＜f(x₂),
（3）由题意有f=f(x₁)-f(x₂)，则f=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2进而求解不等式。
解 （1）令x₂=x₁＞0,代入得f(1)+f(x₁)=f(x₁),故f(1)=0.……………………3分
（2）任取x₁,x₂∈(0,+∞)，且x₁＞x₂,则＞1,由于当x＞1时，f(x)＜0,
所以f＜0,即f (x₁)-f(x₂)＜0,因此f(x₁)＜f(x₂),
所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.……………………7分
（3）由题意有f=f(x₁)-f(x₂)，则f=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.………………9分
由于函数f(x)在区间（0,+∞）上是单调递减函数，
由f(|x|)>f(9),得|x|<9,∴-9<x＜9.……………………11分
又因为|x|>0,因此不等式的解集为{x| -9<x＜0或0<x＜9}.……………………12分