题目内容

【题目】定义在(0,+∞)上的函数fx)满足f(2x)=x2-2x

(Ⅰ)求函数y=fx)的解析式;

(Ⅱ)若关于x的方程fx)=在(1,4)上有实根,求实数a的取值范围.

【答案】(Ⅰ)fx)=(log2x2-2log2xx>0(Ⅱ)-a<-

【解析】

(Ⅰ)令t=2xx=log2t,代入函数f(x),即可得到所求解析式;

(Ⅱ)运用配方,求得函数f(x)的值域,再由分式不等式的解法,可得所求范围

解:()令t=2x,则x=log2t

f(2x)=x2-2xft)=(log2t2-2log2t

fx)=(log2x2-2log2xx>0;

(Ⅱ)fx)=(log2x2-2log2x=(log2x-1)2-1=

x∈(1,4),可得log2x∈(0,2),(log2x-1)2-1∈[-1,0),

-1≤<0,

即为≥0a>5a<-

解得-a<-

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