题目内容
【题目】定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(2x)=x2-2x.
(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=在(1,4)上有实根,求实数a的取值范围.
【答案】(Ⅰ)f(x)=(log2x)2-2log2x,x>0(Ⅱ)-≤a<-
【解析】
(Ⅰ)令t=2x,则x=log2t,代入函数f(x),即可得到所求解析式;
(Ⅱ)运用配方,求得函数f(x)的值域,再由分式不等式的解法,可得所求范围.
解:(Ⅰ)令t=2x,则x=log2t,
由f(2x)=x2-2x得f(t)=(log2t)2-2log2t,
即f(x)=(log2x)2-2log2x,x>0;
(Ⅱ)f(x)=(log2x)2-2log2x=(log2x-1)2-1=,
由x∈(1,4),可得log2x∈(0,2),(log2x-1)2-1∈[-1,0),
即-1≤<0,
即为≥0且a>5或a<-
,
解得-≤a<-
.

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