Question

【题目】已知函数f（x）=（a+1）lnx+ x2（a＜﹣1）对任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，则a的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣2]
【解析】解：由f′（x）= + x，
得f′（1）=3a+1，
所以f（x）=（a+1）lnx+ax2 ， （a＜﹣1）在（0，+∞）单调递减，不妨设0＜x1＜x2 ，
则f（x1）﹣f（x2）≥4x2﹣4x1 ， 即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2 ，
令F（x）=f（x）+4x，F′（x）=f′（x）+4= +2ax+4，
等价于F（x）在（0，+∞）上单调递减，
故F'（x）≤0恒成立，即 +2ax+4≤0，
所以 恒成立，
得a≤﹣2．
所以答案是：（﹣∞，﹣2]．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．