题目内容
在三棱锥中,
和
是边长为
的等边三角形,
,
分别是
的中点.
(Ⅰ)求证:∥平面
;
(Ⅱ)求证:平面⊥平面
;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
【答案】
(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(Ⅲ)
【解析】本题主要考查直线与平面平行的判定,以及平面与平面垂直的判定和三棱锥的体积的计算,体积的求解在最近两年高考中频繁出现,值得重视.
(1)欲证OD∥平面PAC,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证OD与平面PAC内一直线平行,而OD∥PA,PA⊂平面PAC,OD⊄平面PAC,满足定理条件;
(2)欲证平面PAB⊥平面ABC,根据面面垂直的判定定理可知在平面PAB内一直线与平面ABC垂直,而根据题意可得PO⊥平面ABC;
(3)根据OP垂直平面ABC得到OP为三棱锥P-ABC的高,根据三棱锥的体积公式可求出三棱锥P-ABC的体积.
解:(Ⅰ)分别为
的中点,
∥
又平面
,
平面
∥平面
. ………………5分
(Ⅱ)连结,
,
为
中点,
,
⊥
,
.
同理, ⊥
,
.
又,
,
,
⊥
.
⊥
,
⊥
,
,
⊥平面
.
又平面
,
平面
⊥平面
.…………………10分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知垂直平面
为三棱锥
的高,且
. …………………………14分

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