题目内容
【题目】已知抛物线
:
（
）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线
与抛物线交于不同两点
，若满足
，证明直线恒过定点，并求出定点
的坐标．
【答案】（1）
；（2）见解析，
.
【解析】
（1）求出抛物线的准线方程，利用抛物线定义，可得
的方程，即可得出抛物线
的方程；
（2）方法一：设
，
，由
得
，进行坐标运算并化简整理，运用直线的斜率公式和直线方程，以及直线恒过定点的求法，可得所求定点坐标.
方法二：设
，
，设直线
：
（
），与抛物线方程联立，由韦达定理得到根与系数的关系，而，则，代入坐标进行运算并解出
，进行检验后可得直线方程，由此可得直线恒过定点以及定点坐标.
解：（1）抛物线:
（
）的准线方程为
，
由抛物线的定义得，
，
解得
，
所以抛物线方程为.
（2）方法一：设，，
，且
，
皆不为
，
，
，即
，
，
又
，
，
直线斜率为
，
直线方程为：
，
即为
，
直线恒过定点
，
直线恒过定点，定点坐标为.
方法二：设，，
由条件可知直线的斜率不为0，可设直线：（），
代入,得：
，
，
，
，
，
，
即
，
，
，
，符合
，
直线：
，则直线恒过定点，
直线恒过定点，定点坐标为.
【题目】海关对同时从
三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件进行检测．
地区 |
|
|
|
数量 | 50 | 150 | 100 |
（1）求这6件样品中来自各地区商品的数量；
（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
【题目】《基础教育课程改革纲要(试行)》将“具有良好的心理素质”列入新课程的培养目标．为加强心理健康教育工作的开展，不断提高学生的心理素质，九江市某校高二年级开设了《心理健康》选修课，学分为2分．学校根据学生平时上课表现给出“合格”与“不合格”两种评价，获得“合格”评价的学生给予50分的平时分，获得“不合格”评价的学生给予30分的平时分，另外还将进行一次测验．学生将以“平时分×40%+测验分×80%”作为“最终得分”，“最终得分”不少于60分者获得学分．
该校高二(1)班选修《心理健康》课的学生的平时分及测验分结果如下：
测验分 | [30，40) | [40，50) | [50，60) | [60，70) | [70，80) | [80，90) | [90，100] |
平时分50分人数 | 0 | 1 | 1 | 3 | 4 | 4 | 2 |
平时分30分人数 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
（1）根据表中数据完成如下2×2列联表，并分析是否有95%的把握认为这些学生“测验分是否达到60分”与“平时分”有关联？
选修人数 | 测验分 达到60分 | 测验分 未达到60分 | 合计 |
平时分50分 | |||
平时分30分 | |||
合计 |
（2）用样本估计总体，若从所有选修《心理健康》课的学生中随机抽取5人，设获得学分人数为
，求的期望．
附：
，其中
| 0．1 | 0．05 | 0．025 | 0．01 | 0．005 | 0．001 |
| 2．706 | 3．841 | 5．024 | 6．635 | 7．879/p> | 10．828 |
