题目内容
【题目】设椭圆的左焦点为
,上顶点为
.已知椭圆的短轴长为4,离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点
为直线
与
轴的交点,点
在
轴的负半轴上.若
(
为原点),且
,求直线
的斜率.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
或
.
【解析】
(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程,解方程可得椭圆方程;
(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标,从而可得OP的斜率,然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式,最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程,解方程可得直线的斜率.
(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为,依题意,
,又
,可得
,b=2,c=1.
所以,椭圆方程为.
(Ⅱ)由题意,设.设直线
的斜率为
,
又,则直线
的方程为
,与椭圆方程联立
,
整理得,可得
,
代入得
,
进而直线的斜率
,
在中,令
,得
.
由题意得,所以直线
的斜率为
.
由,得
,
化简得,从而
.
所以,直线的斜率为
或
.

练习册系列答案
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【题目】为了了解地区足球特色学校的发展状况,某调查机构得到如下统计数据:
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
足球特色学校 | 0.30 | 0.60 | 1.00 | 1.40 | 1.70 |
(1)根据上表数据,计算与
的相关系数
,并说明
与
的线性相关性强弱(已知:
,则认为
与
线性相关性很强;
,则认为
与
线性相关性一般;
,则认为
与
线性相关性较弱);
(2)求关于
的线性回归方程
,并预测
地区2019年足球特色学校的个数(精确到个).
本题参考公式和数据:,
,
,
,
,
.