题目内容
【题目】设函数.
(1)若,判断函数
是否存在极值,若存在,求出极值:若不存在,说明理由:
(2)若在
上恒成立,求实数
的取值范围:
(3)若函数存在两个极值点
,证明:
【答案】(1)不存在极值,详见解析(2)(3)证明见解析
【解析】
(1)代入,设
,再求导分析
的单调性与最值,进而可得
即可知函数
不存在极值.
(2)根据(1)中可分当
时,与
两种情况,再求导分析函数
的最小值判断是否能够成立即可.
(3)由题意①,
②,再两式相减构造
证明
恒成立即可.
解:因为
,所以
设
则
因为时,
单调递减,
时,
单调递增
所以时,
取得极小值也是最小值,此时
所以,即
在
上恒成立,
所以函数不存在极值.
由
因为
,所以
在
上单调递增,
所以当
若,即
,
所以在
上恒成立,所以
在
上单调递增,
所以
若,即
,则
又因为,且
在
上是单调递增不间断的函数,
所以存在唯一的使得
.
在区间上,
,
所以在
上恒成立,所以
在
上单调递减,
所以,与题设矛盾,所以不成立.
综上可知:.
因为
①,
②
由①-②得:,即
要证,只要证
即证
设,因为
,所以
即证
令
则
所以单调递减,所以
,原命题得证.
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