Question

4．已知集合A={z||z-2|≤2}，B={z|z=$\frac{1}{2}$z₁i+b，z₁∈A，b∈R}．
（1）若A∩B=∅，求b的取值范围；
（2）若A∩B=B，求b的值．

Answer 1

分析 （1）确定A，B的含义，A∩B≠∅，有两个临界位置（两圆外切），临界位置左右两侧都是A∩B=∅，即可求b的取值范围；
（2）若A∩B=B，由（1）知，b的值．

解答 解：（1）集合A表示以（2，0）为圆心，2为半径的圆及圆内部，
B：∵z=$\frac{1}{2}$z₁i+b，∴z₁=-2i（z-b）
∴z₁-2=-2i（z-b）+2i•i=-2i（z-b-i）
∴|z₁-2|=|-2i|•|x-b-i|=2•|z-（b+i）|≤2，
∴|z-（b+i）|≤1，
∴B表示的点是以（b，0）为圆心，1为半径的圆及圆内部，
A∩B≠∅，有两个临界位置（两圆外切），临界位置左右两侧都是A∩B=∅，
两圆内切时，A∩B=B，圆心的距离=半径的差，即（b-2）²+1²=（2-1）²，∴b=2，
外切时，圆心的距离=半径的和，即（b-2）²+1²=（1+2）²，∴b=2±2$\sqrt{2}$，
∴A∩B=∅，b的取值范围是（-$∞，2-2\sqrt{2}$）∪（2+2$\sqrt{2}$，+∞）；
（2）若A∩B=B，由（1）知，b=2．

点评 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．