题目内容

已知f′（x）是f（x）的导函数，f（x）=ln（x+1）+m-2f′（1），m∈R，且函数f（x）的图象过点（0，-2）．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）设 $数学公式$ 在点（1，g（1））处的切线与y轴垂直，求g（x）的极大值．

解：（1）由已知得 $\text{[math]}$ （2分）
又f（0）=-2∴ $\text{[math]}$ （4分）
∴m=-1，（5分）
∴f（x）=ln（x+1）-2（6分）
（2）∵ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．（8分）
又x∈（-1，0）∪（0，+∞）
由 $\text{[math]}$ ，得a=2（10分）
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
由g'（x）＞0，解得 $\text{[math]}$ 或x＞1；
由g'（x）＜0，解得 $\text{[math]}$ 或x≠0．（12分）
则g（x）的单调增区间是 $\text{[math]}$ ，
单调递减区间是 $\text{[math]}$ ．
故g（x）极大值为 $\text{[math]}$ ，
极小值为g（1）=1+2ln2-4=-3+2ln2．（14分）
分析：（1）对函数求导可得 $\text{[math]}$ ，从而可得 $\text{[math]}$ ，由函数f（x）的图象过点（0，-2）可得f（0）=-2代入可求．
（2）对函数g（x）求导，由题意可得g′（1）=0，代入可求a的值及函数g（x），研究函数g（x）的单调性，结合单调性求函数的极大值．
点评：本题考查了函数导数的几何意义：函数在某点的导数值即为改点的切线的斜率，属于基本知识、基本运算的考查．