题目内容
已知f（x）是定义在R上的可导函数，对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，且f（x）＞f′（x）•lnxx，则f（2）与f（e）•ln2的大小关系是（ ）
分析：分析题中要比较的两个式子的特点，考查函数F（x）=
，其F′（x）=
=
结合条件知其F′（x）＜0，得出F（x）在（0，+∞）是减函数，从而得到F（e）＜F（2）即可得出答案．
| f(x) |
| lnx |
f′(x)lnx-f(x)•
| ||
| ln 2x |
[x•f′(x)lnx-f(x)]
| ||
| ln 2x |
解答：解：考察函数F（x）=
，
则F′（x）=
=
，
∵对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，且f（x）＞f′（x）•lnxx，
∴F′（x）＜0，
∴F（x）在（0，+∞）是减函数，
∴F（e）＜F（2）即
＜
∴f（2）＞f（e）•ln2．
故选A．
| f(x) |
| lnx |
则F′（x）=
f′(x)lnx-f(x)•
| ||
| ln 2x |
[x•f′(x)lnx-f(x)]
| ||
| ln 2x |
∵对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，且f（x）＞f′（x）•lnxx，
∴F′（x）＜0，
∴F（x）在（0，+∞）是减函数，
∴F（e）＜F（2）即
| f(e) |
| lne |
| f(2) |
| ln2 |
∴f（2）＞f（e）•ln2．
故选A．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数的单调性与导数的关系、不等关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
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