题目内容
若关于x的不等式x2-ax-6a＜0有解，且解区间的长度不超过5个单位长，则a的取值范围是（ ）
分析：先根据不等式x2-ax-6a＜0有解判断出判别式大于0，得到a的范围，再由解的区间长度缩小a的范围即可．
解答：解：设方程x2-ax-6a=0的两根分别为x1，x2，则
△＞0，∴a2+24a＞0，∴a＞0或a＜-24
∵解区间的长度就是方程x2-ax-6a=0的两个根的距离
由韦达定理，可得x1+x2=a，x1•x2=-6a
所以（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=a2+24a
∵长度不超过五个单位长
∴|x1-x2|≤5
∴（x1-x2）2≤25
∴a2+24a≤25
∴-25≤a≤1
综上，-25≤a＜-24或0＜a≤1
故选D．
△＞0，∴a2+24a＞0，∴a＞0或a＜-24
∵解区间的长度就是方程x2-ax-6a=0的两个根的距离
由韦达定理，可得x1+x2=a，x1•x2=-6a
所以（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=a2+24a
∵长度不超过五个单位长
∴|x1-x2|≤5
∴（x1-x2）2≤25
∴a2+24a≤25
∴-25≤a≤1
综上，-25≤a＜-24或0＜a≤1
故选D．
点评：本题考查一元二次不等式的应用，考查韦达定理，正确理解题意是关键．
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