Question

【题目】在平面直角坐标系中，定长为3的线段两端点、分别在轴，轴上滑动，在线段上，且.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）设点是轨迹上一点，从原点向圆作两条切线分别与轨迹交于点，，直线，的斜率分别记为，.

①求证：；

②求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）2.5

【解析】

设，，，根据，可得，，再根据，即可求出轨迹方程，因为直线OP：，OQ：，与圆R相切，推出，是方程的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出结合点在椭圆C上，证明．当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设，，通过，推出，利用，，在椭圆C上，推出，即可求出的最大值．

设，，，

．

，

，，

，，

，

，

即，

证明：直线OP：，OQ：，与圆相切，

直线OP：与圆M：联立，

可得

同理，

由判别式为0，可得，是方程的两个不相等的实数根，

，

点在椭圆C上，所以，

；

当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设，，

，

，即，

，在椭圆C上，

，

整理得，

．

当直线落在坐标轴上时，显然有，

综上：

，

的最大值为．