题目内容

8.设a>1,b>1且ab+a-b-10=0,a+b的最小值为m,记满足2x2+y2≤m的所有整点坐标为(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),则$\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}$|xiyi|=12.

分析 对已知进行整理可得,(a-1)(b+1)=9然后利用基本不等式可求a+b的最小值,从而可求m,代入求出符合条件的m即可求解.

解答 解:由ab+a-b-10=0可得b(a-1)+(a-1)=9,
即(a-1)(b+1)=9,
由基本不等式可得,(b+1)(a-1)≤( $\frac{b+1+a-1}{2}$)2=( $\frac{a+b}{2}$)2
∴(a+b)2≥36,当且仅当a=4,b=2时取等号,
故a+b的最小值是6即m=6,
从而满足2x2+y2≤6的整点有15个,(0,0),(0,1),(0,2),(0,-1),(0,-2)(1,0),(1,1),(1,2),(1,-1,),(1,-2),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(-1,-1),(-1,-2),
则$\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}$|xiyi|=1+2+1+2+1+2+1+2=12,
故答案为:12.

点评 本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用及整数点的求解,解题的关键是求解出m的值.

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