题目内容

精英家教网如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，其中DA⊥AB，AD∥BC．PA=2AD=BC=2AB=2
2
．
（1）求异面直线PC与AD所成角的大小；
（2）若平面ABCD内有一经过点C的曲线E，该曲线上的任一动点Q都满足PQ与AD所成角的大小恰等PC与AD所成角．试判断曲线E的形状并说明理由；
（3）在平面ABCD内，设点Q是（2）题中的曲线E在直角梯形ABCD内部（包括边界）的一段曲线CG上的动点，其中G为曲线E和DC的交点．以B为圆心，BQ为半径的圆分别与梯形的边AB、BC交于M、N两点．当Q点在曲线段GC上运动时，试提出一个研究有关四面P-BMN的问题（如体积、线面、面面关系等）并尝试解决．
（说明：本小题将根据你提出的问题的质量和解决难度分层评分；本小题的计算结果可以使用近似值，保留3位小数）
分析：（1）解法一：由已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，可得PC与AD所成的角即为∠PCB，解三角形PCB即可得到异面直线PC与AD所成角的大小．
解法二：以A为原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴、直线AP为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线PC与AD的方向向量，代入向量夹角公式即可得到异面直线PC与AD所成角的大小．
（2）解法一：过Q作QF⊥AB，垂足为F，连接PF，可证得PQ与AD所成角即为∠PQF=60°，在平面ABCD中，以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴，建立平面直角坐标系．设动点Q（x，y），根据|QF|=|y|=
|PF|
tan60°
，可得到一个关于x，y的关系式，整理可得曲线E的轨迹方程，即可得到曲线E的形状．
解法二：以A为原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴、直线AP为z轴，建立空间直角坐标系，由该曲线上的任一动点Q都满足PQ与AD所成角的大小恰等PC与AD所成角，分别求出向量
PQ
与
AD
的坐标，代入向量夹角公式，可得到一个关于x，y的关系式，整理可得曲线E的轨迹方程，即可得到曲线E的形状．
（3）在xOy的坐标系中，设G（x1，y1）求出直线DC的方程后，代入双曲线E：3y2-x2=4的方程，根据韦达定理及直线DC与双曲线E交于点C，可以求出x，y的取值范围，进而根据二次函数的性质，求出圆的半径|BQ|的取值范围，进而我们可以分别研究问题一：求四面体P-BMN体积的取值范围．问题二：求侧棱PM与底面BMN所成角大小的取值范围．问题三：求侧棱PN与底面BMN所成角大小的取值范围．问题四：求侧面PMN和底面BMN所成的二面角P-MN-B大小的取值范围等．
解答：精英家教网解：（1）解法一：由题意，四边形ABCD是直角梯形，且AD∥BC，
则PC与AD所成的角即为∠PCB．
因为DA⊥AB⇒BC⊥AB，又PA⊥平面ABCD，
所以BC⊥平面ABCD，则有∠PBC=90°．
    因为PB=
PA2+AB2
=2
3
，BC=2，
所以tan∠PCB=
PB
BC
=
3
，则∠PCB=60°，
即异面直线PC与AD所成角的大小为60°．
解法二：如图，以A为原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴、直线AP为z轴，建立空间直角坐标系．
于是有P（0，0，2）、C（2
2
，2，0），则有
PC
=（2
2
，2，-2），又
AD
=（0，1，0）
则异面直线PC与AD所成角θ满足cosθ=
|
PC
•
AD
|
|
PC
|•|
AD
|
=
1
2
，
    所以，异面直线PC与AD所成角的大小为60°
（2）解法一：由条件，过Q作QF⊥AB，垂足为F，连接PF．
于是有AD∥QF，故PQ与AD所成角即为∠PQF=60°．
在平面ABCD中，以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴，建立平面直角坐标系．设动点Q（x，y），
则有|PF|=
PA2+AF2
=
4+x2

又QF⊥平面PAB，所以QF⊥PF．
所以|QF|=|y|=
|PF|
tan60°
=
4+x2
3
，
即3y2-x2=4．
所以，可判定曲线E是双曲线．
（2）解法二：如图，以A为原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴、直线AP为z轴，建立空间直角坐标系．
设Q（x，y，0），P（0，0，2）、D（0，1，0），
则有
PQ
=（x，y，-2），又
AD
=（0，1，0）
由
PQ
•
AD
=±|
PQ
|•|
AD
|•cos
π
3
，
化简整理得到3y2-x2=4，则曲线E是平面ABCD内的双曲线．
（3）在如图所示的xOy的坐标系中，因为D（0，1）、C（2
2
，2）、B（2
2
，0），
设G（x1，y1）．则有
DC
=（2
2
，1），故DC的方程为
x
2
2
=
y-1
1
，
代入双曲线E：3y2-x2=4，的方程整理后可得5y2-16y+12=0，其中y1•y2=
12
5
．
因为直线DC与双曲线E交于点C，故y1=
6
5
．进而可得x1=
2
2
5
，即G（
2
2
5
，
6
5
）．
故双曲线E在直角梯形ABCD内部（包括边界）的区域满足x∈[
2
2
5
，2
2
]，y∈[
6
5
，2]．
又设Q（x，y）为双曲线段CG上的动点x∈[
2
2
5
，2
2
]，
所以，|BQ|=
(x-2
2
)2+y2
=
4
3
(x-
3
2
2
)2+
10
3
        
因为
3
2
2
∈[
2
2
5
，2
2
]，
所以当x=
3
2
2
时，|BQ|取最小值
30
3
；
当x
2
2
5
=时，|BQ|取最大值
2
41
5

而要使圆B与AB、BC都有交点，则|BQ|≤2．
故满足题意的圆的半径的取值范围是|BQ|∈[
30
3
，2]．
【说明】
1．若提出的问题在解决过程中不需用到以上结论的，则完整提出问题并解决最高得6分．
2．若提出的问题在解决过程中需用到以上结论的，则上述分析过程满分6分；继续深入的研究过程和结论则可参考以下典型问题和解答，最高再得6分．
 问题一：求四面体P-BMN体积的取值范围．
因为PA⊥DMN，所以P-BMN体积为VP-BMN=
1
3
•PA•S△BMN．故问题可以转化为研究△BMN的面积．
又因为∠MBN为直角，所以△BMN必为等腰直角三角形．
由前述，设|BQ|=r∈[
30
3
，2]，则|BQ|=|BN|=r，
故其面积为S△BMN=
1
2
r2，所以S△BMN∈[
5
3
，2]．
于是VP-BMN=
1
3
•PA•S△BMN=
2
3
•S△BMN∈[
10
9
，
4
3
]．
（当Q点运动到与点C重合时，体积取得最大值；当Q点运动到横坐标x=
3
2
2
时，即|PQ|长度最小时，体积取得最小值）
问题二：求侧棱PM与底面BMN所成角大小的取值范围．
解：因为PA⊥BMN，所以∠PMA即为侧棱PM与底面BMN所成角．
而tan∠PMA=
PA
AM
=
2
2
2
-r
，r∈[
30
3
，2]
由于
2
2
2
-r
在区间[
30
3
，2]内递增，
所以tan∠PMA∈[1.995，2.414]，即．∠PMA∈[arctan1.995，arctan2.414]，
问题三：求侧棱PN与底面BMN所成角大小的取值范围．
解：因为PA⊥BMN，所以∠PNA 即为侧棱PN与底面BMN 所成角．
因为N（2
2
，r），所以|AN|=
8+r2
，
故tan∠PNA=
PA
AN
=
2
8+r2
，r∈[
30
3
，2]．
由于
2
8+r2
在区间[
30
3
，2]内递减，
所以tan∠PNA∈[
3
3
，0.594]，即∠PNA∈[
π
6
，arctan0.594]．
问题四：求侧面PMN和底面BMN所成的二面角P-MN-B大小的取值范围．
解：如图，以A为原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴、直线AP为z轴，建立空间直角坐标系．
设P（0，0，2）、M（2
2
-r，0，0），N（2
2
，r，0），
设平面PMN的法向量为
n
=（x，y，z）
由
n
⊥
PM
，
n
⊥
MN
，可得平面PMN的一个法向量坐标为
n
=（1，-1，
2
-
r
2
）．
可知，向量
PA
=（0，0，2）是平面BMN的一个法向量，于是向量
PA
和
n
的夹角θ的大小即为二面角P-MN-B平面角的大小．
而cosθ=
r-2
2
2
2+
(2
2
-r)2
4
=
r-2
2
8+(2
2
-r)2
，
经分析可得，cosθ在区间r∈[
练习册系列答案
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如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中点．求证：
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（Ⅱ）PD⊥平面ABE．
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）求三棱锥P-MBD的体积．
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且侧面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求证：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一点E，使得二面角E-BD-A的大小为45°，若存在，试求
AE
AP
的值，若不存在，请说明理由．
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，点F是PB中点．
（Ⅰ）若E为BC中点，证明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC边上任一点，证明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直线PA与平面PDE所成角的正弦值．
如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，设PC与AD的夹角为θ．
（1）求点A到平面PBD的距离；
（2）求θ的大小；当平面ABCD内有一个动点Q始终满足PQ与AD的夹角为θ，求动点Q的轨迹方程．

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