Question

14．设f（x）=2|x+1|+|x-3|的最小值为p．
（1）求p
（2）若a，b，c，d∈（0，+∞），a²+b²+c²+3d²=p，求（a+b+c）d的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，运用单调性，求得最值，即可得到所求最小值；
（2）由题意可得（a²+d²）+（b²+d²）+（c²+d²）=4，则（a+b+c）d=ad+bd+cd，运用基本不等式即可得到最大值．

解答 解：（1）当x≥3时，f（x）=2x+2+x-3=3x-1，单调递增，
当x=3时，取得最小值8；
当x≤-1时，f（x）=-2（x+1）+3-x=1-3x，单调递减，
当x=-1时，取得最小值4；
当-1＜x＜3时，f（x）=2x+2+3-x=5+x，单调递增，
f（x）∈（4，8）．
综上可得f（x）的最小值为4，即p=4；
（2）由a，b，c，d∈（0，+∞），a²+b²+c²+3d²=4，
可得（a²+d²）+（b²+d²）+（c²+d²）=4，
则（a+b+c）d=ad+bd+cd≤$\frac{{a}^{2}+{d}^{2}}{2}$+$\frac{{b}^{2}+{d}^{2}}{2}$+$\frac{{c}^{2}+{d}^{2}}{2}$
=$\frac{4}{2}$=2，
当且仅当a=b=c=d=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，取得最大值2．
则（a+b+c）d的最大值为2．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法和函数的单调性，同时考查基本不等式的运用：求最值，注意等号成立的条件，属于中档题．