题目内容

已知O为坐标原点,
OA
=(2cos2x,1)
OB
=(1,
3
sin2x+a)
(x∈R,a∈R,a是常数),若y=
OA
OB

(1)求y关于x的函数关系式f(x);
(2)若f(x)的最大值为2,求a的值;
(3)利用(2)的结论,用“五点法”作出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图,并指出其单调区间.
分析:(1)把
OA
OB
的坐标,代入函数解析式,利用向量积的运算求得函数解析式.
(2)利用二倍角公式对函数解析式化简整理,利用正弦函数的性质表示出函数的最大值,求得a.
(3)利用(2)中的函数解析式,根据正弦函数的单调性求得函数的单调增区间和减区间.
解答:精英家教网解:(1)∵
OA
=(2cos2x,1)
OB
=(1,
3
sin2x+a)

y=
OA
OB
=2cos2x+
3
sin2x+a


(2)由(1)得y=2cos2x+
3
sin2x+a

=1+cos2x+
3
sin2x+a

=cos2x+
3
sin2x+a+1

精英家教网=2(
1
2
cos2x+
3
2
sin2x)+a+1

=2(sin
π
6
cos2x+cos
π
6
sin2x)+a+1

=2sin(2x+
π
6
)+a+1

sin(2x+
π
6
)
=1时,ymax=2+a+1=3+a
又∵ymax=2
∴3+a=2
∴a=-1

(3)由(2)得,y=2sin(2x+
π
6
)

增区间是:[-
π
3
+kπ,
π
6
+kπ](k∈Z)

减区间是:[
π
6
+kπ,
3
+kπ](k∈Z)
点评:本题主要考查了三角函数的最值,二倍角的化简求值,平面向量的数量积的运算.考查了对三角函数基础知识的综合应用.
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