题目内容

16.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,又PA=AB=4,∠CDA=120°,点N在线段PB上,且PN=$\sqrt{2}$.
(Ⅰ)求证:BD⊥PC;
(Ⅱ)求证:MN∥平面PDC.

分析 (Ⅰ)由正三角形的性质可得BD⊥AC,利用线面垂直的性质可知PA⊥BD,再利用线面垂直的判定定理即可证明BD⊥PC;
(Ⅱ)利用已知条件分别求出BM、MD、PB,得到$\frac{BM}{MD}=\frac{BN}{NP}$,即可得到MN∥PD,再利用线面平行的判定定理即可证明

解答 证明:(I)∵△ABC是正三角形,M是AC中点,
∴BM⊥AC,即BD⊥AC.
又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD.
又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.
∴BD⊥PC.
(Ⅱ)在正△ABC中,BM=2$\sqrt{3}$.
在△ACD中,
∵M为AC中点,DM⊥AC,∴AD=CD.
∠ADC=120°,
∴DM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∴$\frac{NM}{MD}$=$\frac{3}{1}$.
在等腰直角△PAB中,PA=AB=4,PB=4$\sqrt{2}$,
∴$\frac{BN}{NP}$=$\frac{3}{1}$,
∴$\frac{BM}{MD}=\frac{BN}{NP}$,
∴MN∥PD.
又MN?平面PDC,PD?平面PDC,
∴MN∥平面PDC.

点评 本题主要考查线面垂直的性质以及线面平行的判定,利用相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键.

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