Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，正方形边长为2，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：直线与平面所成角的正弦值为，求的长度；

（3）若，线段上是否存在一点，使平面，若存在求的长度，若不存在则说明.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，2或4；（3）存在，

【解析】

（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出，平面法向量，利用，即可证出.

（2）求出平面法向量，，由，利用空间向量的数量积即可求解.

（3）假设存在，设，由（1）平面法向量，，由向量共线可得，解方程即可求解.

（1）由平面，平面，所以，

因为为正方形，所以，

又，

所以平面.

如图以为原点建立空间直角坐标系

，，，，

，

设平面法向量为

，

令，

，平面，平面

（2）设平面法向量为，

，，

，令，，

，设直线与平面所成角为

解得或4，所以长为或4

（3）存在，，，，，

，，，

解得，.