题目内容

已知映射f：P（m，n）→P′（ $数学公式$ ， $数学公式$ ）（m≥0，n≥0）．设点，A（1，3），B（3，1），点M是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为________．

$\text{[math]}$
分析：根据所给的两个点的坐标写出直线的方程，设出两个点的坐标，根据所给的映射的对应法则得到两个点坐标之间的关系，代入直线的方程求出一个圆的方程，得到轨迹是一个圆弧，求出弧长．
解答：

解：设点M′从A′开始运动，直到点B′结束，由题意知AB的方程为：x+y=4．设M′（x，y），
则M（x²，y²），由点M在线段AB上可得 x²+y²=4．
按照映射f：P（m，n）→P′（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），可得 A（1，3）→A′（1， $\text{[math]}$ ），B（3，1）→B′（ $\text{[math]}$ ，1），
故tan∠A′OX= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴∠A′OX= $\text{[math]}$ ．
tan∠B′OX= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴∠B′OX= $\text{[math]}$ ，故∠A′OB′=∠A′OX-∠B′OX= $\text{[math]}$ ，
点M的对应点M′所经过的路线长度为弧长 $\text{[math]}$ =∠A′OB′•r= $\text{[math]}$ ×2= $\text{[math]}$ ，
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查弧长公式和轨迹方程，本题解题的关键是利用相关点法求出点的轨迹，题目不大，但是涉及到的知识点不少，属于基础题．