题目内容
已知映射f：P(m，n)→P′(
，
)（m≥0，n≥0）．设点A（1，3），B（3，1），点M是线段AB上一动点，f：M→M′，当点M在线段AB上从点A开始运动到点B时，点M的对应点M′所经过的路线长度为（ ）
| m |
| n |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
分析：根据所给的两个点的坐标写出直线的方程，设出两个点的坐标，根据所给的映射的对应法则得到两个点坐标之间的关系，代入直线的方程求出一个圆的方程，得到轨迹是一个圆弧，求出弧长．
解答：
解：由题意知AB的方程为：x+y=4，
设M′（x，y），则M（x2，y2），从而有x2+y2=4，
按照映射f：P(m，n)→P′(
，
)（m≥0，n≥0），可得 A（1，3）→A′（1，
），B（3，1）→B′（
，1），
∴tan∠A′OX=
，∴∠A′OX=
，
tan∠B′OX=
，∴∠B′OX=
，
∴∠A′OB′=∠A′OX-∠B′OX=
，
点M的对应点M′所经过的路线长度为弧长
×2=
．
故选C．
解：由题意知AB的方程为：x+y=4，设M′（x，y），则M（x2，y2），从而有x2+y2=4，
按照映射f：P(m，n)→P′(
| m |
| n |
| 3 |
| 3 |
∴tan∠A′OX=
| 3 |
| π |
| 3 |
tan∠B′OX=
| ||
| 3 |
| π |
| 6 |
∴∠A′OB′=∠A′OX-∠B′OX=
| π |
| 6 |
点M的对应点M′所经过的路线长度为弧长
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
故选C．
点评：本题以定义的一种新的变换为入手点，主要考查直线与圆的有关知识，解答本题的关键是弄懂定义的本质．
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，
）（m≥0，n≥0）．设点，A（1，3），B（3，1），点M是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为________．