题目内容
15.设数列{an}是各项均为正数的等比数列,其前n项和为Sn,若a1a5=64,S5-S3=48.(1)求数列{an}的通项公式;
(2)对于正整数k,m,l(k<m<l),若 m=k+1且l=k+3,求证:5ak,am,al可以按某种顺序构成等差数列;
(3)设数列{bn}满足bn=log2$\frac{a_n^2}{2}$,若数列${\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}}$的前n项和为Tn,求Tn的取值范围.
分析 (1)由题意和等比数列的性质先求出a3,由等比数列的通项公式、前n项和的定义求出公比q,代入等比数列的通项公式化简即可;
(2)依题意5ak,am,al这三项即为5ak,2ak,8ak,进而可得结论;
(3)通过由(1)可知bn2n-1,裂项可知${\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}}$=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$),并项相加可得Tn=$\frac{n}{2n+1}$,进而可得结论.
解答 (1)解:设等比数列{an}的公比是q,
依题意,a3=$\sqrt{{a}_{1}{a}_{5}}$=$\sqrt{64}$=8,
又∵S5-S3=48,
∴a4+a5=8q+8q2=48,
解得:q=2或q=-3(舍),
∴an=${a}_{3}•{q}^{n-3}$=2n;
(2)证明:依题意5ak,am,al这三项为5ak,ak+1,ak+3,即5ak,2ak,8ak,
调整顺序后易知2ak,5ak,8ak成等差数列;
(3)解:由(1)可知bn=log2$\frac{a_n^2}{2}$=2n-1,
∴${\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}}$=$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$),
∴Tn=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$)=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{2n+1}$)=$\frac{n}{2n+1}$,
显然Tn随着n的增大而增大,且$\underset{lim}{n→∞}$Tn=$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{1}{3}$≤Tn<$\frac{1}{2}$,
∴Tn的取值范围为[$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{2}$).
点评 本题考查等差数列、等比数列的性质,考查计算化简、变形能力与逻辑推理能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
A. | “若a、b∈R,则a+b=b+a”类比推出“若a、b∈C,则a+b=b+a” | |
B. | “若(a-b)2+(b-c)2=0,其中a、b、c∈R,则a=b=c”类比推出“若(a-b)2+(b-c)2=0,其中a、b、c∈C,则a=b=c” | |
C. | 由“(a•b)c=a(b•c) 其中a、b、c∈R”类比推出“$(\overrightarrow a•\overrightarrow b)•\overrightarrow c=(\overrightarrow a•\overrightarrow b)\overrightarrow{•c}$” | |
D. | “若ab=ac,其中a、b、c∈R,则b=c”类比推出“若$(\overrightarrow a•\overrightarrow b)•\overrightarrow c=(\overrightarrow a•\overrightarrow b)\overrightarrow{•c}$,且$\overrightarrow a≠\overrightarrow 0$,则$\overrightarrow b=\overrightarrow c$” |
A. | $\frac{9}{10}$ | B. | $\frac{3}{10}$ | C. | $\frac{1}{5}$ | D. | $\frac{1}{10}$ |