题目内容

对n∈N^*，不等式 $数学公式$ 所表示的平面区域为D_n，把D_n内的整点（横坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列：（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），…，（x_n，y_n）．
（1）求x_n，y_n；
（2）数列{a_n}满足a₁=x₁且n≥2时， $数学公式$ ，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）设c₁=1，当n≥2时， $数学公式$ ，且数列{c_n}的前n项和T_n，求T₉₉．

解：（1） $\text{[math]}$ 的可行域为
如图示，x_n=1，y_n=n
（2）由题意可知：a₁=1，a_n= $\text{[math]}$
故 $\text{[math]}$
记 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
两式相减得： $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
故 $\text{[math]}$
故数列{a_n}的前n项的和为： $\text{[math]}$
（3）当n≥2时， $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ =lg（n+1）-lgn
T₉₉=1+（lg3-lg2）+（lg4-lg3）+（lg5-lg3）++（lg100-lg99）
=1+2-lg2
=3-lg2．
分析：（1）画出可行域，结合图形写出x_n，y_n
（2）利用等比数列的前n项和公式求出a_n；利用错位相减法和等差数列的前n项和公式求出S_n
（3）先化简C_n，再利用裂项相消法求出T₉₉
点评：本题考查画不等式组表示的平面区域；数列求和的方法：错位相减法、公式法、裂项相消法．

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(Ⅰ)求x_n，y_n；

(Ⅱ)数列{a_n}满足a₁=x₁，且n≥2时a_n=().证明当n≥2时,；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，试比较(1+)·(1+)·(1+)…(1+)与4的大小关系.

对n∈N^*，不等式

所表示的平面区域为D_n，把D_n内的整点（横坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列：（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），…，（x_n，y_n）．
（1）求x_n，y_n；
（2）数列{a_n}满足a₁=x₁且n≥2时，

，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）设c₁=1，当n≥2时，

，且数列{c_n}的前n项和T_n，求T₉₉．

对n∈N^*，不等式

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（1）求x_n，y_n；
（2）数列{a_n}满足a₁=x₁且n≥2时，

，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）设c₁=1，当n≥2时，

，且数列{c_n}的前n项和T_n，求T₉₉．

对n∈N^*，不等式

所表示的平面区域为D_n，把D_n内的整点（横坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列：（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），…，（x_n，y_n）．
（1）求x_n，y_n；
（2）数列{a_n}满足a₁=x₁且n≥2时，

，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）设c₁=1，当n≥2时，

，且数列{c_n}的前n项和T_n，求T₉₉．