题目内容
已知椭圆C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
| 2 |
（I）求椭圆的标准方程；
（II）设G是椭圆上异于A、B的任意一点，GH丄x轴，H为垂足，延长HG到点Q 使得HG=GQ，连接AQ并延长交直线l于点M，点N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系，并证明你的结论．
分析：（Ⅰ）利用原点到直线x+y+
=0的距离等于b求解b的值，再结合离心率及 a2=b2+c2 可求得a的值，所以椭圆的标准方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出A，B的坐标，设出G点坐标并用G的坐标表示Q的坐标，由G在椭圆上得到G点的坐标满足的函数关系式，写出直线AQ的方程，和x=2联立求讲解M的坐标，利用中点坐标公式得到N的坐标，求出QN的方程并化为一般式，利用点到直线的距离求原点到直线QN的距离，从而得到直线QN与以AB为直径的圆O相切．
| 2 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出A，B的坐标，设出G点坐标并用G的坐标表示Q的坐标，由G在椭圆上得到G点的坐标满足的函数关系式，写出直线AQ的方程，和x=2联立求讲解M的坐标，利用中点坐标公式得到N的坐标，求出QN的方程并化为一般式，利用点到直线的距离求原点到直线QN的距离，从而得到直线QN与以AB为直径的圆O相切．
解答：解：（Ⅰ）由题可得：e=
=
．
∵以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+
=0相切，
∴
=b，解得b=1．
再由 a2=b2+c2，可解得：a=2．
∴椭圆的标准方程：
+y2=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A（-2，0），B（2，0），直线l的方程为：x=2．
设G（x0，y0）（y0≠0），于是Q（x0，2y0），
且有
+y02=1，即4y02=4-x02．
∴直线AQ的方程为：y=
(x+2)，
由
，解得：
，即M(2，
)，
∴N(2，
)．
∴直线QN的斜率为：kQN=
=
=
=
，
∴直线QN的方程为：y-
=
(x-2)
即
x+y-
-
=0
∴点O到直线QN的距离为
d=
=
=2．
∴直线QN与以AB为直径的圆O相切．
| c |
| a |
| ||
| 2 |
∵以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+
| 2 |
∴
|0+0+
| ||
|
再由 a2=b2+c2，可解得：a=2．
∴椭圆的标准方程：
| x2 |
| 4 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A（-2，0），B（2，0），直线l的方程为：x=2．
设G（x0，y0）（y0≠0），于是Q（x0，2y0），
且有
| x02 |
| 4 |
∴直线AQ的方程为：y=
| 2y0 |
| x0+2 |
由
|
|
| 8y0 |
| x0+2 |
∴N(2，
| 4y0 |
| x0+2 |
∴直线QN的斜率为：kQN=
| ||
| 2-x0 |
| -2x0y0 |
| 4-x02 |
| -2x0y0 |
| 4y02 |
| -x0 |
| 2y0 |
∴直线QN的方程为：y-
| 4y0 |
| x0+2 |
| -x0 |
| 2y0 |
即
| x0 |
| 2y0 |
| 4y0 |
| x0+2 |
| x0 |
| y0 |
∴点O到直线QN的距离为
d=
|0-
| ||||
|
|
| ||||
|
∴直线QN与以AB为直径的圆O相切．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了学生的运算能力，解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，一般离不开联立方程组，往往有繁杂的计算，所以要仔细运算，该题是难题．
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