题目内容

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴有两个不同的公共点,若f(c)=0且0<x<c时,f(x)>0.
(1)试比较
1a
与c的大小;
(2)证明:-2<b<-1.
分析:(1)由题意得c、
1
a
是方程f(x)=0的两个根,欲比较
1
a
与c的大小,利用反证法去证明
1
a
<c不可能,从而得到
1
a
>c;
(2)先由f(c)=0,得b=-1-ac.从而得到b<-1,再利用(1)的结论,比较f(x)图象的对称轴与
1
a
的大小,从而确定b的取值范围即可.
解答:解:(1)∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,
∴f(x)=0有两个不同的实数根x1,x2
∵f(c)=0,
∴c是方程f(x)=0的一个根,
不妨设x1=c,
∵x1x2=
c
a
,∴x2=
1
a
1
a
≠c),
假设
1
a
<c,又
1
a
>0,由0<x<c时,f(x)>0,
得f(
1
a
)>0,与已知f(
1
a
)=0矛盾,∴
1
a
>c.
(2)证明:由f(c)=0,得ac+b+1=0,
∴b=-1-ac.
又a>0,c>0,∴b<-1.
f(x)图象的对称轴方程为
x=-
b
2a
=
x1+x2
2
=
1
a
+c
2
1
a
+
1
a
2
=
1
a

即-
b
2a
1
a

又a>0,∴b>-2,∴-2<b<-1.
点评:本题主要考查不等式的证明,有些不等式无法利用用题设的已知条件直接证明,我们可以间接的方法--反证法去证明,
即通过否定原结论---导出矛盾---从而达到肯定原结论的目的.
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