Question

11．已知数列{a_n}是等差数列，b_n=${a}_{n+1}^{2}$-${a}_{n}^{2}$（n∈N₊）．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）若数列{a_n}的公差为8，b₁=16，求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差是d，根据等差数列的通项公式化简b_n+1-b_n，由等差数列的定义可证明数列{b_n}是等差数列；
（2）由题意和等差数列的通项公式求出a₁，由等差数列的前n项公式求出数列{a_n}的前n项和S_n．

解答 证明：（1）设等差数列{a_n}的公差是d，
∵b_n=${a}_{n+1}^{2}$-${a}_{n}^{2}$（n∈N₊），
∴b_n+1-b_n=${a}_{n+2}^{2}$-${a}_{n+1}^{2}$-（${a}_{n+1}^{2}$-${a}_{n}^{2}$）
=（a_n+2-a_n+1）（a_n+2+a_n+1）-（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）
=d[（a_n+2+a_n+1）-（a_n+1+a_n）]=2d²（常数），
∴数列{b_n}是以2d²等差数列；
解：（2）∵数列{a_n}的公差为8，b₁=16，
∴b₁=${a}_{2}^{2}$-${a}_{1}^{2}$=16，则8（a₂+a₁）=16，
解得a₁=-3，
∴数列{a_n}的前n项和S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}×d$
=-3n+4n（n-1）=4n²-7n．

点评 本题考查等差数列的定义、通项公式、前n项公式的应用，以及等差数列的证明，属于中档题．