Question

【题目】如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，

（1）求证：EF⊥平面ACFD；
（2）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：延长AD，BE，CF相交于点K，如图所示，

∵平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，

∴AC⊥平面BCK，∴BF⊥AC．

又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2，∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK，

∴BF⊥平面ACFD

（2）

方法一：过点F作FQ⊥AK，连接BQ，∵BF⊥平面ACFD．∴BF⊥AK，则AK⊥平面BQF，

∴BQ⊥AK．∴∠BQF是二面角B﹣AD﹣F的平面角．

在Rt△ACK中，AC=3，CK=2，可得FQ= ．

在Rt△BQF中，BF= ，FQ= ．可得：cos∠BQF= ．

∴二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值为 ．

方法二：如图

，

延长AD，BE，CF相交于点K，则△BCK为等边三角形，

取BC的中点，则KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，∴KO⊥平面BAC，

以点O为原点，分别以OB，OK的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．

可得：B（1，0，0），C（﹣1，0，0），K（0，0， ），A（﹣1，﹣3，0）， ， ．

=（0，3，0）， = ， （2，3，0）．

设平面ACK的法向量为 =（x1，y1，z1），平面ABK的法向量为 =（x2，y2，z2），由 ，可得 ，

取 = ．

由 ，可得 ，取 = ．

∴ = = ．

∴二面角B﹣AD﹣F的余弦值为 ．

【解析】（1）先证明BF⊥AC，再证明BF⊥CK，进而得到BF⊥平面ACFD．
（2）方法一：先找二面角B﹣AD﹣F的平面角，再在Rt△BQF中计算，即可得出；
方法二：通过建立空间直角坐标系，分别计算平面ACK与平面ABK的法向量，进而可得二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值．
本题考查了空间位置关系、法向量的应用、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
【考点精析】利用空间中直线与直线之间的位置关系对题目进行判断即可得到答案，需要熟知相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．