题目内容
(2013•绵阳二模)已知函数f(x),若对给定的三角形ABC,它的三边的长a、b、c均在函数f(x)的定义域内,都有f(a)、f(b)、f(c)也为某三角形的三边的长,则称f(x)是△ABC的“三角形函数”.下面给出四个命题:
①函数f1(x)=
,x∈(0,+∞)是任意三角形的“三角形函数”;
②若定义在(O,+∞)上的周期函数f2(x)的值域也是(0,+∞),则f2(x)是任意三角形的“三角形函数”;
③若函数f3(x)=x3-3x+m在区间(
,
)上是某三角形的“三角形函数”,则m的取值范围是(
,+∞)
④若a、b、c是锐角△ABC的三边长,且a、b、c∈N+,则f4(x)=x2+lnx(x>0)是△ABC的“三角形函数”.
以上命题正确的有
①函数f1(x)=
x |
②若定义在(O,+∞)上的周期函数f2(x)的值域也是(0,+∞),则f2(x)是任意三角形的“三角形函数”;
③若函数f3(x)=x3-3x+m在区间(
2 |
3 |
4 |
3 |
62 |
27 |
④若a、b、c是锐角△ABC的三边长,且a、b、c∈N+,则f4(x)=x2+lnx(x>0)是△ABC的“三角形函数”.
以上命题正确的有
①④
①④
(写出所有正确命题的序号)分析:判断函数f(x)是不是“三角形函数”,只须对任意的三角形,设它的三边长分别为a,b,c,则a+b>c,不妨假设a≤c,b≤c,判断f(a),f(b),f(c)是否满足任意两数之和大于第三个数,即任意两边之和大于第三边即可.
①f1(x)=
中,设△的三边长分别为a,b,c,且a+b>c,有f(a)+f(b)=
+
>
>
=f(c);
②f2(x)中,举反例说明命题不成立;
③f3(x)中,利用导函数判断函数在x∈(
,
)上的增减性并比较大小,从而确定m的取值范围;
④锐角△ABC的三边长a、b、c,设a≤c,b≤c,验证f(a)+f(b)>f(c)是否成立.
①f1(x)=
x |
a |
b |
a+b |
c |
②f2(x)中,举反例说明命题不成立;
③f3(x)中,利用导函数判断函数在x∈(
2 |
3 |
4 |
3 |
④锐角△ABC的三边长a、b、c,设a≤c,b≤c,验证f(a)+f(b)>f(c)是否成立.
解答:解:①对于f1(x)=
,x∈(0,+∞),设△的三边长分别为a,b,c,且a+b>c,不妨设a≤c,b≤c,则f(a)+f(b)=
+
>
,
f(c)=
<
,∴f(a)+f(b)>f(c),命题正确;
②对于定义在(O,+∞)上的周期函数f2(x),值域是(0,+∞),设T(T>0)是f2(x)的一个周期,则存在n>m>0,有f2(m)=1,f2(n)=2,
取正整数λ>
,则λT+m,λT+m,n,是△的三边,又f2(λT+m)=1,f2(λT+m)=1,f2(n)=2不能组成三角形,∴命题错误;
③对于函数f3(x)=x3-3x+m,∵f3′(x)=3x2-3,∴f3(x)在(-1,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,又x∈(
,
),
∴f3(1)<f3(
)<f3(
);要使f3(x)是某三角形的“三角形函数”,须f3(
)=(
)3-3×
+m>0,∴m>
,∴命题错误;
④对于锐角△ABC的三边长a、b、c,设a≤c,b≤c,∴c<a+b≤2c;∴ln(a+b)>lnc,有a2+b2-c2>0,a、b、c∈N+,
∴当a≥2,且b≥2时,有0<
+
≤1;∴
≥1,即ln
≥0,∴ln
≥0;即ln(ab)-ln(a+b)≥0,∴lna+lnb≥ln(a+b)>lnc;
当a=1时,b=2,c=2;当a=1时,b=1,c=1;
综上,知f(a)+f(b)>f(c);命题正确.
故答案为:①④
x |
a |
b |
a+b |
f(c)=
c |
a+b |
②对于定义在(O,+∞)上的周期函数f2(x),值域是(0,+∞),设T(T>0)是f2(x)的一个周期,则存在n>m>0,有f2(m)=1,f2(n)=2,
取正整数λ>
n-m |
T |
③对于函数f3(x)=x3-3x+m,∵f3′(x)=3x2-3,∴f3(x)在(-1,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,又x∈(
2 |
3 |
4 |
3 |
∴f3(1)<f3(
2 |
3 |
4 |
3 |
4 |
3 |
4 |
3 |
4 |
3 |
44 |
27 |
④对于锐角△ABC的三边长a、b、c,设a≤c,b≤c,∴c<a+b≤2c;∴ln(a+b)>lnc,有a2+b2-c2>0,a、b、c∈N+,
∴当a≥2,且b≥2时,有0<
1 |
a |
1 |
b |
1 | ||||
|
1 | ||||
|
ab |
a+b |
当a=1时,b=2,c=2;当a=1时,b=1,c=1;
综上,知f(a)+f(b)>f(c);命题正确.
故答案为:①④
点评:本题通过命题真假的判定,考查了新定义下的函数模型的应用问题,是比较容易出错的题目.
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