题目内容
(2012•鹰潭模拟)已知函数y=f(x)是定义在实数集R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时,xf′(x)<f(-x)成立(其中f′(x)是f(x)的导函数),若a=
f(
),b=(lg3)f(lg3), c=(log2
)f(log2
),则a,b,c的大小关系是( )
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分析:设F(x)=xf(x),根据题意得F(x)是偶函数且在区间(0,+∞)上是增函数,由此比较
、lg3和2的大小,结合函数的性质,不难得到本题的答案.
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解答:解:设F(x)=xf(x),得F'(x)=x'f(x)+xf'(x)=xf'(x)+f(x),
∵当x∈(-∞,0)时,xf′(x)<f(-x),且f(-x)=-f(x)
∴当x∈(-∞,0)时,xf′(x)+f(x)<0,即F'(x)<0
由此可得F(x)=xf(x)在区间(-∞,0)上是减函数,
∵函数y=f(x)是定义在实数集R上的奇函数,
∴F(x)=xf(x)是定义在实数集R上的偶函数,在区间(0,+∞)上F(x)=xf(x)是增函数.
∵0<lg3<lg10=1,
∈(1,2)
∴F(2)>F(
)>F(lg3)
∵log
4=-2,从而F(log
4)=F(-2)=F(2)
∴F(log
4)>F(
)>F(lg3)
即(log2
)f(log2
)>
f(
)>(lg3)f(lg3),得c>a>b
故答案为:A
∵当x∈(-∞,0)时,xf′(x)<f(-x),且f(-x)=-f(x)
∴当x∈(-∞,0)时,xf′(x)+f(x)<0,即F'(x)<0
由此可得F(x)=xf(x)在区间(-∞,0)上是减函数,
∵函数y=f(x)是定义在实数集R上的奇函数,
∴F(x)=xf(x)是定义在实数集R上的偶函数,在区间(0,+∞)上F(x)=xf(x)是增函数.
∵0<lg3<lg10=1,
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∴F(2)>F(
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∵log
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∴F(log
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即(log2
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故答案为:A
点评:本题给出抽象函数,比较几个函数值的大小.着重考查了利用导数研究函数的单调性、不等式比较大小和函数单调性与奇偶性关系等知识,属于中档题.
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