Question

6．在△ABC中，CA=2，CB=6，∠ACB=60°，若点O在∠ACB的平分线上，满足$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，m，n∈R，且-$\frac{1}{2}$≤n≤-$\frac{1}{4}$，则|$\overrightarrow{OC}$|的取值范围是[$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 根据点O在∠ACB的平分线上，从而可设$\overrightarrow{OC}=k$（$\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|}+\frac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|}$）=$\frac{k}{2}（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}）+\frac{k}{6}（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}）$，可以求出$\overrightarrow{OC}=\frac{3k}{6+4k}\overrightarrow{OA}+\frac{k}{6+4k}\overrightarrow{OB}$，根据条件，从而有$\frac{k}{6+4k}=n$．根据n的范围，从而得到$-\frac{1}{2}≤\frac{k}{6+4k}≤-\frac{1}{4}$，这样可以解出k的范围，从而可根据${\overrightarrow{OC}}^{2}={k}^{2}（\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|}+\frac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|}）^{2}$即可得出${\overrightarrow{OC}}^{2}$的范围，从而得出$|\overrightarrow{OC}|$的范围．

解答 解：∵O在∠ACB的平分线上；
∴存在k，使$\overrightarrow{OC}=k（\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|}+\frac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|}）$=$\frac{k}{2}\overrightarrow{CA}+\frac{k}{6}\overrightarrow{CB}$=$\frac{k}{2}（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}）+\frac{k}{6}（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}）$；
∴$（1+\frac{2k}{3}）\overrightarrow{OC}=\frac{k}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{k}{6}\overrightarrow{OB}$；
∴$\overrightarrow{OC}=\frac{3k}{6+4k}\overrightarrow{OA}+\frac{k}{6+4k}\overrightarrow{OB}$；
∴$n=\frac{k}{6+4k}$；
∵$-\frac{1}{2}≤n≤-\frac{1}{4}$；
∴$-\frac{1}{2}≤\frac{k}{6+4k}≤-\frac{1}{4}$；
解得$-1≤k≤-\frac{3}{4}$；
${\overrightarrow{OC}}^{2}={k}^{2}（1+2•cos60°+1）=3{k}^{2}$；
$\frac{9}{16}≤{k}^{2}≤1$；
∴$\frac{27}{16}≤{\overrightarrow{OC}}^{2}≤3$；
∴$\frac{3\sqrt{3}}{4}≤|\overrightarrow{OC}|≤\sqrt{3}$；
∴$|\overrightarrow{OC}|$的取值范围是[$\frac{3\sqrt{3}}{4}，\sqrt{3}$]．
故答案为：[$\frac{3\sqrt{3}}{4}，\sqrt{3}$]．

点评 考查共线向量基本定理，向量加法的平行四边形法则，菱形的对角线平分对角，向量的数乘运算，向量减法的几何意义，以及平面向量基本定理，向量数量积的运算及计算公式．