题目内容
19.(理)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为( )A. | $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$ | B. | $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$ | C. | $\frac{{2\sqrt{2}}}{5}$ | D. | $-\frac{{2\sqrt{2}}}{5}$ |
分析 建立空间坐标系,求出异面直线AC1与B1C的方向向量,代入向量夹角公式,可得答案.
解答 解:∵直三棱锥ABC-A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,AC,BC,CC1两两垂直.
如图建立坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B1(0,4,4),
∴$\overrightarrow{{AC}_{1}}$=(-3,0,4),$\overrightarrow{{CB}_{1}}$=(0,4,4),
设异面直线AC1与B1C所成角为θ,
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{AC}_{1}}•\overrightarrow{{CB}_{1}}|}{\left|\overrightarrow{{AC}_{1}}\right|•\left|\overrightarrow{{CB}_{1}}\right|}$=$\frac{16}{20\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{5}$,
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{5}$,
故选:C
点评 本题考查的知识点是异面直线所成的角,建立空间坐标系,将异面直线夹角转化为向量夹角,是解答的关键.
练习册系列答案
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9.若一个命题的结论是“直线l在平面α内”,则用反证法证明这个命题时,第一步应作的假设为( )
A. | 假设直线l∥平面α | B. | 假设直线l∩平面α于点A | ||
C. | 假设直线l?平面α | D. | 假设直线l⊥平面α |
10.执行如图所示的程序框图,若输出的值为-105,则输入的n的值可能是( )
A. | 5 | B. | 7 | C. | 8 | D. | 10 |
7.公司随机抽取M名员工作为样本,得到这M名员工参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:
(Ⅰ)求出表中M和图中a的值;
(Ⅱ)若该公司员工有240人,试估计员工参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数;
(Ⅲ)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的员工中任选2人,求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.
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分组 | 频数 | 频率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 24 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30) | 2 | 0.05 |
合计 | M | 1 |
14.使平面α∥平面β的一个条件是( )
A. | 存在一条直线a,a∥α,a∥β | |
B. | 存在一条直线a,a?α,a∥β | |
C. | 存在两条平行直线a、b,a?α,b?β,a∥β,b∥α | |
D. | 存在两条异面直线a、b,a?α,b?β,a∥β,b∥α |
4.已知函数f(x)=2lnx+1在点(1,f(1))处的切线为l,点(an,an+1)在l上,且a1=2,则a2015=( )
A. | 22014-1 | B. | 22014+1 | C. | 22015-1 | D. | 22015+1 |
8.设i是虚数单位,则复数$\frac{2i}{1-i}$的共轭复数的模是( )
A. | 1 | B. | -1 | C. | $\sqrt{2}$ | D. | -$\sqrt{2}$ |
9.函数$y=tan(x+\frac{π}{4})$的单调增区间为( )
A. | $[{kπ-\frac{3π}{4};kπ+\frac{π}{4}}]$ | B. | $(kπ-\frac{3π}{4},kπ+\frac{π}{4})$ | C. | $[{kπ-\frac{π}{2},kπ+\frac{π}{2}}]$ | D. | $(kπ-\frac{π}{2},kπ+\frac{π}{2})$ |