Question

（本小题满分12分）已知，设函数，．
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）若是自然对数的底数，当时，是否存在常数、，使得不等式对于任意的正实数都成立？若存在，求出、的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（本小题满分12分）
解：（I）∵ ，               ………………（2分）
∴．

	+	0	-
		极大值

∴当时，函数取最大值；      ………………（4分）
（II）当时，的最大值是0，
即，当且仅当时取等号，        ………………（6分）
函数和的图象在处有且仅有一个公共点，
∵，函数的图象在处切线斜率是，
∵，函数的图象在处切线斜率是，
∴和的图象在处有公共切线方程为，………………（8分）
设，

	+	0	-
		极大值

∴当时，函数取得最大值，∴恒成立；……………（10分）
∵，
∴在时恒成立；
∴当时，，．                 ………………（12分）

略