题目内容
定义在D上的函数
，如果满足：
，
常数
，都有
≤M成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.
（Ⅰ）试判断函数
在[1，3]上是不是有界函数？请给出证明；
（Ⅱ）若已知质点的运动方程为
，要使在
上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.
解：（Ⅰ）∵
，当
时，
.
∴
在[1，3]上是增函数.
∴当时，
≤≤
，即 -2≤≤26.
∴存在常数M=26，使得
，都有
≤M成立.
故函数
是[1，3]上的有界函数.
（Ⅱ）∵
. 由
≤1，得
≤1
∴
令
，则
.
当
时，有
，
∴在[0，+∞
上单调递减.
故当t=0 时，有
；
又
，当t→+∞时，→0，
∴ 
，从而有
≤0，且
. ∴0≤a≤1；
故所求a的取值范围为0≤a≤1.
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如右图所示，定义在D上的函数f（x），如果满足：对?x∈D，常数A，都有f（x）≥A成立，则称函数f（x）在D上有下界，其中A称为函数的下界．（提示：图中的常数A可以是正数，也可以是负数或零）
（本题满分12）如右图所示，定义在D上的函数
，如果满足：对
，
常数A，都有
成立，则称函数
在
上是否有下界？并说明理由；
，要使在
上的每一时刻该质点的瞬时速度是以
为下界的函数，求实数a的取值范围．
在（0，+∞）上是否有下界？并说明理由；
，要使在t∈[0，+∞）上的每一时刻该质点的瞬时速度是以
为下界的函数，求实数a的取值范围．