题目内容

（2007•揭阳二模）如图（1）示，定义在D上的函数f（x），如果满足：对?x∈D，?常数A，都有f（x）≥A成立，则称函数f（x）在D上有下界，其中A称为函数的下界．（提示：图（1）、（2）中的常数A、B可以是正数，也可以是负数或零）  

（Ⅰ）试判断函数f（x）=x3+
48
x
在（0，+∞）上是否有下界？并说明理由；
（Ⅱ）又如具有如图（2）特征的函数称为在D上有上界．请你类比函数有下界的定义，给出函数f（x）在D上有上界的定义，并判断（Ⅰ）中的函数在（-∞，0）上是否有上界？并说明理由；
（Ⅲ）若函数f（x）在D上既有上界又有下界，则称函数f（x）在D上有界，函数f（x）叫做有界函数．试探究函数f（x）=ax3+
b
x
（a＞0，b＞0a，b是常数）是否是[m，n]（m＞0，n＞0，m、n是常数）上的有界函数？
分析：（I）函数f（x）=x3+
48
x
在（0，+∞）上有下界32．利用导数或基本不等式求极小值能够进行判断．
（Ⅱ）类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：定义在D上的函数f（x），如果满足：对?x∈D，?常数B，都有f（x）≤B成立，则称函数f（x）在D上有上界，其中B称为函数的上界．利用函数f(x)=x3+
48
x
在（-∞，0）上有下界及其奇偶性即可得出结论；
（Ⅲ）求导f′(x)=3ax2-
b
x2
，利用导数研究其单调性，再对字母m的值进行分类讨论，即可得到函数f(x)=ax3+
b
x
是[m，n]上的有界函数．
解答：解：（Ⅰ）
解法1：∵f′(x)=3x2-
48
x2
，由f'（x）=0得3x2-
48
x2
=0，x4=16，∵x∈（0，+∞），
∴x=2，-----------------------------（2分）
∵当0＜x＜2时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在（0，2）上是减函数；
当x＞2时，f'（x）＞0，∴函数f（x）在（2，+∞）上是增函数；
∴x=2是函数的在区间（0，+∞）上的最小值点，f(x)min=f(2)=8+
48
2
=32
∴对?x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，------------------------------------（4分）
即在区间（0，+∞）上存在常数A=32，使得对?x∈（0，+∞）都有f（x）≥A成立，
∴函数f(x)=x3+
48
x
在（0，+∞）上有下界．-----------------------------（5分）
[解法2：∵x＞0∴f(x)=x3+
48
x
=x3+
16
x
+
16
x
+
16
x
≥4
4x3•
16
x
•
16
x
•
16
x
=32
当且仅当x3=
16
x
即x=2时“=”成立
∴对?x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，
即在区间（0，+∞）上存在常数A=32，使得对?x∈（0，+∞）都有f（x）≥A成立，
∴函数f(x)=x3+
48
x
在（0，+∞）上有下界．]
（Ⅱ）类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：
定义在D上的函数f（x），如果满足：对?x∈D，?常数B，都有f（x）≤B成立，则称函数f（x）在D上有上界，其中B称为函数的上界．------------------------------（7分）
设x＜0，则-x＞0，由（Ⅰ）知，对?x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，
∴f（-x）≥32，∵函数f(x)=x3+
48
x
为奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∴-f（x）≥32，∴f（x）≤-32
即存在常数B=-32，对?x∈（-∞，0），都有f（x）≤B，
∴函数f(x)=x3+
48
x
在（-∞，0）上有上界．----------------------------（9分）
（Ⅲ）∵f′(x)=3ax2-
b
x2
，
由f'（x）=0得3ax2-
b
x2
=0，∵a＞0，b＞0
∴x4=
b
3a
，∵[m，n]?（0，+∞），∴x=
4
b
3a
，--------------------------------（10分）
∵当0＜x＜
4
b
3a
时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在（0，
4
b
3a
）上是减函数；
当x＞
4
b
3a
时，f'（x）＞0，∴函数f（x）在（
4
b
3a
，+∞）上是增函数；
∴x=
4
b
3a
是函数的在区间（0，+∞）上的最小值点，f(
4
b
3a
)=a(
4
b
3a
)3+
b
4
b
3a
=
4
3
43ab3
------------------------------（11分）
①当m≥
4
b
3a
时，函数f（x）在[m，n]上是增函数；
∴f（m）≤f（x）≤f（n）
∵m、n是常数，∴f（m）、f（n）都是常数
令f（m）=A，f（n）=B，
∴对?x∈[m，n]，?常数A，B，都有A≤f（x）≤B
即函数f(x)=ax3+
b
x
在[m，n]上既有上界又有下界-------------------------（12分）
②当 n≤
4
b
3a
时函数f（x）在[m，n]上是减函数
∴对?x∈[m，n]都有f（n）≤f（x）≤f（m）
∴函数f(x)=ax3+
b
x
在[m，n]上有界．-------------------------（13分）
③当m＜
4
b
3a
＜n时，函数f（x）在[m，n]上有最小值f（x）min=f(
4
b
3a
)=a(
4
b
3a
)3+
b
4
b
3a
=
4
3
43ab3

令A=
4
3
43ab3
，令B=f（m）、f（n）中的最大者
则对?x∈[m，n]，?常数A，B，都有A≤f（x）≤B
∴函数f(x)=ax3+
b
x
在[m，n]上有界．
综上可知函数f(x)=ax3+
b
x
是[m，n]上的有界函数--------------------（14分）
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
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