题目内容

10.已知二项展开式(1+mx)10的系数单调递减,则实数m的取值范围为0<m<$\frac{1}{10}$.

分析 利用二项式定理,结合二项展开式(1+mx)10的系数单调递减,建立不等式,即可求出实数m的取值范围.

解答 解:二项展开式(1+mx)10的系数为${C}_{10}^{r}•{m}^{r}$,
∵二项展开式(1+mx)10的系数单调递减,
∴${C}_{10}^{r}•{m}^{r}$>${C}_{10}^{r+1}$•mr+1
∴0<m<$\frac{r+1}{10-r}$,
∵$\frac{r+1}{10-r}$=-1+$\frac{11}{10-r}$,r=0时,取得最小值$\frac{1}{10}$,
∴0<m<$\frac{1}{10}$,
故答案为:0<m<$\frac{1}{10}$.

点评 本题考查二项式定理的运用,考查函数的单调性,考查学生的计算能力,属于中档题.

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