Question

设函数f(x)=lnx－ax+－1.
(1) 当a=1时, 过原点的直线与函数f(x)的图象相切于点P, 求点P的坐标;
(2) 当0＜a＜时, 求函数f(x)的单调区间；
(3) 当a=时, 设函数g(x)=x²－2bx－, 若对于x₁∈, [0, 1]使f(x₁)≥g(x₂)成立, 求实数b的取值范围.（e是自然对数的底, e＜+1）.

Answer 1

(1) (2) 增区间为减区间为， (3)

试题分析：函数的定义域为，                 （2分）
（1）设点，当时，，则，，∴                  （3分）
解得，故点P 的坐标为                             （4分）
（2）
∵ ∴                                   （6分）
∴当，或时，当时，
故当时，函数的单调递增区间为；
单调递减区间为，                                  （8分）
（3）当时，由（Ⅱ）可知函数在上是减函数，在上为增函数，在上为减函数，且，
∵，又，∴，
∴，故函数在上的最小值为         （10分）
若对于，使 ≥成立在上的最小值不大于
在上的最小值（*）     （11分）
又，
①当时，在上为增函数，与（*）矛盾
②当时，，由及得，

③当时，在上为减函数，，
此时
综上，的取值范围是（14分）
点评：第一问函数曲线与某直线相切时，充分利用切点坐标与直线曲线的联系寻求关系式，第二问求单调区间主要通过导数的正负分别求得单调增减区间，第三问首先将不等式问题转化为函数最值问题，须认真分析清楚需要比较的是最大值还是最小值，这一点是容易出错的地方